برای ساختن این مدل ، فرض کنید n واحد تصمیم گیری موجود است که هر واحد دارای m ورودی و s خروجی است و هدف ارزیابی کارایی واحد تحت بررسی ( واحد صفر یا واحد تصمیم گیرنده ) است که ورودی های x_1,0, x_2,0, …, x_m,0 را برای تولید خروجی های y_1,0, y_2,0, …, y_s,0 مصرف می‌کنند. در صورتی که وزن های تخصیص داده شده به خروجی ها با u₁, u₂, …, u_m و وزن های تخصیص داده شده به ورودی ها با v₁, v₂, …, v_m نشان داده شود، کارایی نسبی واحد صفر با حل مدل برنامه ریزی کسری زیر ارزیابی می شود :

 

 

 

مدل ۱ : مدل نسبت CCR

 

: میزان ورودی ام برای واحد ام

 

: میزان خروجی ام برای واحد ام

 

: وزن داده شده به خروجی ام

 

: وزن داده شده به ورودی ام

 

برای اینکه بتوان روش های حل برنامه ریزی خطی را برای این مدل به کار برد باید آن را به مدل خطی تبدیل کرد. برای این کار از روشی که چارنز ، کوپر و رودز به کار گرفتند استفاده می‌کنیم. در این روش استدلال بر این است که برای حداکثر کردن مقدار یک عبارت کسری می توان به دو شیوه اقدام کرد :

 

۱ – مخرج کسر را ثابت در نظر گرفته و صورت را حداکثر کنیم. اگر از این شیوه استفاده شود ، مدل ورودی محور^[۱۳] یا نهاده گرا حاصل می شود .

 

۲ – صورت کسر را ثابت در نظر گرفته و مخرج را حداقل کنیم. اگر از این شیوه استفاده شود ، مدل خروجی محور^[۱۴] یا ستاده گرا حاصل می شود .

 

مدل CCR ورودی محور به دو گروه مدل های مضربی^[۱۵] و پوششی^[۱۶] تقسیم می شود. در زیر مدل های CCR مضربی ورودی محور و خروجی محور آورده می‌شوند :

 

 

 

 

 

مدل ۲ : مدل مضربی CCR ورودی محور

 

 

 

 

 

مدل ۳ : مدل مضربی CCR خروجی محور

 

ثانویه مدل مضربی، مدل پوششی نامیده می شود. در صورتی که متغیر متناظر با محدودیت اوّل مدل مضربی را در مسئله ثانویه با و متغیر های متناظر با دیگر محدودیت ها را با نشان دهیم، مدل های ثانویه به صورت زیر خواهند بود: (مهرگان، ۱۳۹۱، ۷۷-۵۹)

 

 

 

 

 

مدل ۴ : مدل پوششی (ثانویه) CCR ورودی محور

 

 

 

 

 

مدل ۵ : مدل پوششی CCR خروجی محور

 

در یک مدل ورودی محور، یک واحد تصمیم گیرنده در صورتی ناکارآست که امکان کاهش هر یک از ورودی ها بدون افزایش ورودی های دیگر یا کاهش هر یک از خروجی ها وجود داشته باشد. امّا در یک مدل خروجی محور، یک واحد در صورتی ناکارآست که امکان افزایش هر یک از خروجی ها بدون افزایش یک ورودی یا کاهش یک خروجی دیگر وجود داشته باشد. یک واحد کارآ خواهد بود، اگر و فقط اگر هیچ کدام از دو مورد فوق امکان تحقق نیابد. کارایی کمتر از یک برای یک واحد ‌به این معنی است که ترکیب خطی واحد های دیگر می‌تواند همان مقدار خروجی را با به کارگیری ورودی های کمتر ایجاد کنند. مدل های ورودی محور بر ورودی ها متمرکزند امّا مدل های خروجی محور بیشتر بر خروجی ها تمرکز می‌کنند. (مهرگان،۱۳۹۱،۷۷)

 

۲-۶-۲ مدل BCC^[17]

 

در سال ۱۹۸۴ بنکر، چارنز و کوپر مفاهیم و مدل های تحلیل پوششی داده ها را توسعه داده و با تغییر در مدل CCR مدل جدیدی را به نام ” BCC ” ارائه دادند. این مدل به محاسبه کارایی با فرض بازدهی متغیر نسبت به مقیاس (VRS^[18]) می پردازد.( (Banker et al,1984این مدل همچنین می‌تواند تشخیص دهد که بازده به مقیاس واحد تصمیم گیری افزایشی است یا کاهشی یا ثابت. (Toloo & Nalchigar ,2011, 14728)

 

مدل نسبت BCC برای ارزیابی کارایی واحد تحت بررسی (صفر) به صورت زیر است:

 

 

 

 

 

مدل ۶ : مدل نسبت BCCورودی محور

 

ساختار مدل نسبت BCC همانند مدل نسبت CCR است که هم در تابع هدف و هم در تمامی محدودیت ها به صورت کسر یک متغیر آزاد در علامت w افزوده می شود. این مدل را نیز می توان همانند مدل CCR به دو صورت ورودی محور و خروجی محور و دو مدل مضربی (اولیه) و پوششی (ثانویه) نوشت. در زیر مدل های BCC مضربی ورودی محور و خروجی محور آورده می‌شوند :

 

 

 

مدل ۷ : مدل مضربی BCC ورودی محور

 

 

 

 

 

مئل ۸ : مدل مضربی BCC خروجی محور

 

علامت متغیر w در این مدل نوع بازده به مقیاس را به صورت زیر تعیین می‌کند: الف) هرگاه باشد نوع بازده به مقیاس، کاهشی است.

 

ب) هرگاه باشد نوع بازده به مقیاس، ثابت است.

 

پ) هرگاه باشد نوع بازده به مقیاس، افزایشی است.

 

در مدل های BCC همانند مدل های CCR، ثانویه مدل مضربی، مدل پوششی نامیده می شود. در زیر این مدل ها آورده می‌شوند: (مهرگان،۱۳۹۱،۸۳-۷۹)

 

 

 

مئل ۹ : مدل پوششی BCC ورودی محور

 

 

 

 

 

مدل ۱۰ : مدل پوششی BCC خروجی محور

 

۲-۶-۳ مدل جمعی^[۱۹]

 

مدل های CCR و BCC مدل هایی اند که دارای گرایش به ورودی یا گرایش به خروجی اند. و بهبود کارایی را صرفاً با تمرکز بر ورودی ها یا خروجی ها پیگیری می‌کنند. یعنی مدل های ورودی محور سعی دارند با حفظ سطح خروجی ها، مقدار ورودی ها را کاهش دهند و مدل های خروجی محور سعی دارند با حفظ سطح ورودی، خروجی ها را افزایش دهند. مدل جمعی که در سال ۱۹۸۵ توسط چارنز و همکارانش ارائه شد، مدلی است فاقد گرایش به سمت ورودی و خروجی، که به طور همزمان کاهش ورودی ها و افزایش خروجی ها را دنبال می‌کند. (Lim et al, 2011, 7666)

 

فرم اوّلیه این مدل مدل پوششی و فرم ثانویه آن مدل مضربی نامیده می شود. مدل اولیه جمعی در زیر آورده می شود:

 

 

 

 

 

مدل ۱۱ : مدل اولیه جمعی (مدل پوششی)

 

۲-۷ بازده به مقیاس^[۲۰]

 

بازده به مقیاس منعکس کننده نسبت افزایش در خروجی به ازای افزایش در میزان ورودی است. این نسبت می‌تواند ثابت یا متغیر باشد. فرض بازده ثابت نسبت به مقیاس منعکس کننده وضعیتی است که در آن اگر در ورودی افزایشی اعمال شود به همان نسبت خروجی نیز افزایش پیدا می‌کند. ( به طور مثال %۵۰ افزایش در ورودی به %۵۰ افزایش در خروجی منجر خواهد شد.) در حالی که فرض بازده متغیر نسبت به مقیاس منعکس کننده وضعیتی است که در آن افزایش خروجی بیشتر یا کمتر از نسبت افزایش ورودی است. اگر میزان افزایش خروجی بیشتر از نسبتی باشد که ورودی افزایش داده شده به آن بازده به مقیاس افزایشی^[۲۱] ( IRS ) و اگر میزان افزایش خروجی کمتر از نسبتی باشد که ورودی افزایش داده شده به آن بازده به مقیاس کاهشی^[۲۲] ( DRS ) می‌گویند. ( Samoilenko & Bryson, 2013, 132 )

 

۲-۸ مزایا و معایب تحلیل پوششی داده ها

 

الف) مزایا

 

• • این روش تک تک مشاهدات را مورد بررسی قرار می‌دهد نه فقط میانگین آن ها را. و یک ابزار یا روش اندازه گیری جامع برای محاسبه کارایی هر واحد تصمیم گیری ارائه می کند.

 

• • در این روش می توان از ورودی ها و خروجی های چندگانه در حالی که دارای مقیاس اندازه گیری متفاوتی هستند، استفاده نمود.

 

• • کارایی واحد های تصمیم گیری همگن را ارزیابی کرده و میزان تغییر ورودی ها و خروجی های واحد های ناکارآمد را که برای افزایش کارایی نیاز به تغییر دارند را محاسبه می کند.

 

• راه حل کارا و بهینه پارتو را ارائه می‌کند.

ب) معایب